Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из текущих стоимостей всех будущих доходов:
(15)
При этом в (15):
PV- текущая стоимость аннуитета;
PMT - регулярный ежегодный доход;
n - количество лет, в течение которых поступают доходы;
i - ставка дисконтирования.
Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (15), находим
(16)
Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения
(17)
представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета.
Соотношение (16) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе можно утверждать, что формула (16) определяет рыночную стоимость объекта приносящего ежегодный постоянный доход.
Если же постоянные выплаты PMT происходят несколько раз в году (каждый раз в конце периода), например m раз в году, то можно записать:
(18)
где j - номинальная процентная ставка при условии начисления процентов m раз в году
n - количество лет, пока происходят выплаты;
всего за n лет будет произведено n∙ m выплат.
Пример 6
Согласно долговой бумаге на протяжении 5 лет будут производиться ежегодные выплаты в размере 1 000 рублей. Какова текущая стоимость долговой бумаги, если ставка дисконтирования выбрана 19,25%?
Решение
Пример 7
В условиях предыдущего примера считать, что выплаты происходят ежеквартально, т.е. по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Ставка дисконтирования (номинальная при ежеквартальном начислении процентов m=4) равна j=18% (номинальная ставка 18% соответствует эффективной годовой ставке 19,25% предыдущего примера). Какова текущая стоимость ценной бумаги?
Решение:
Используя (18) имеем:
РМТ=250;=0.18;=5;=4;
Итак, стоимость ценной бумаги выше, чем в предыдущем примере. Это произошло из-за более точного приближения выплат по ценной бумаге к сегодняшнему дню.
3. Общие вопросы финансовых вычислений по облигациям